Test
7 (i) (7x - 5y) : (3x + 4y) = 7 : 11 হলে, দেখাই যে (3x - 2y) : (3x + 4y) = 137 : 473
সমাধান:
প্রথমে প্রদত্ত অনুপাত থেকে x ও y-এর সম্পর্ক নির্ণয় করি:
7x - 5y3x + 4y = 711
আড়াআড়ি গুণ (Cross multiplication) করে পাই:
11(7x - 5y) = 7(3x + 4y)
বা, 77x - 55y = 21x + 28y
x যুক্ত পদগুলোকে বামদিকে এবং y যুক্ত পদগুলোকে ডানদিকে নিয়ে যাই:
বা, 77x - 21x = 28y + 55y
বা, 56x = 83y
বা, xy = 8356
ধরি, x = 83k এবং y = 56k (যেখানে k হলো আনুপাতিক ধ্রুবক, k ≠ 0)
এবার বামপক্ষ (L.H.S.) ধরে মান বসাই:
L.H.S. = 3x - 2y3x + 4y
= 3(83k) - 2(56k)3(83k) + 4(56k)
= 249k - 112k249k + 224k
= 137k473k
লব ও হর থেকে k কেটে গিয়ে থাকে:
= 137473
= 137 : 473 = R.H.S.
প্রমাণিত (Proved)
7 (ii) (10x + 3y) : (5x + 2y) = 9 : 5 হলে, দেখাই যে (2x + y) : (x + 2y) = 11 : 13
সমাধান:
প্রথমে প্রদত্ত অনুপাত থেকে x ও y-এর সম্পর্ক নির্ণয় করি:
10x + 3y5x + 2y = 95
আড়াআড়ি গুণ করে পাই:
5(10x + 3y) = 9(5x + 2y)
বা, 50x + 15y = 45x + 18y
x যুক্ত পদগুলোকে বামদিকে এবং y যুক্ত পদগুলোকে ডানদিকে নিয়ে যাই:
বা, 50x - 45x = 18y - 15y
বা, 5x = 3y
বা, xy = 35
ধরি, x = 3k এবং y = 5k (যেখানে k হলো আনুপাতিক ধ্রুবক, k ≠ 0)
এবার বামপক্ষ (L.H.S.) ধরে মান বসাই:
L.H.S. = 2x + yx + 2y
= 2(3k) + 5k3k + 2(5k)
= 6k + 5k3k + 10k
= 11k13k
লব ও হর থেকে k কেটে গিয়ে থাকে:
= 1113
= 11 : 13 = R.H.S.
প্রমাণিত (Proved)
8 (i) 2 : 5 অনুপাতের উভয়পদের সঙ্গে কত যোগ করলে অনুপাতটি 6 : 11 হবে নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, অনুপাতের উভয়পদের সঙ্গে x যোগ করতে হবে।
শর্তানুসারে, 2 + x5 + x = 611
আড়াআড়ি গুণ করে পাই:
11(2 + x) = 6(5 + x)
বা, 22 + 11x = 30 + 6x
বা, 11x - 6x = 30 - 22
বা, 5x = 8
বা, x = 85
বা, x = 1.6
উত্তর: উভয়পদের সঙ্গে 85 (বা 1.6) যোগ করতে হবে।
8 (ii) a : b বৈষম্যানুপাতের উভয়পদ থেকে কত বিয়োগ করলে বৈষম্যানুপাতটি m : n হবে নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, অনুপাতের উভয়পদ থেকে x বিয়োগ করতে হবে।
শর্তানুসারে, a - xb - x = mn
আড়াআড়ি গুণ করে পাই:
n(a - x) = m(b - x)
বা, an - nx = bm - mx
x যুক্ত পদগুলোকে বামদিকে এবং বাকি পদগুলোকে ডানদিকে নিয়ে যাই:
বা, mx - nx = bm - an
বামদিক থেকে x কমন নিই:
বা, x(m - n) = bm - an
বা, x = bm - anm - n
উত্তর: উভয়পদ থেকে bm - anm - n বিয়োগ করতে হবে।
8 (iii) কোন্ সংখ্যা 4 : 7 অনুপাতের পূর্বপদের সঙ্গে যোগ এবং উত্তরপদ থেকে বিয়োগ করলে উৎপন্ন অনুপাতটি 2 : 3 ও 5 : 4 এর যৌগিক অনুপাত হবে?
সমাধান:
প্রথমে 2 : 3 ও 5 : 4 এর যৌগিক (বা মিশ্র) অনুপাত নির্ণয় করি:
যৌগিক অনুপাত = (2 × 5) : (3 × 4) = 10 : 12
লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করলে (2 দিয়ে ভাগ করে): = 5 : 6
ধরি, নির্ণেয় সংখ্যাটি হলো x।
শর্তানুসারে, 4 : 7 অনুপাতের পূর্বপদের (4) সঙ্গে x যোগ এবং উত্তরপদ (7) থেকে x বিয়োগ করলে অনুপাতটি 5 : 6 হবে।
অর্থাৎ, 4 + x7 - x = 56
আড়াআড়ি গুণ করে পাই:
6(4 + x) = 5(7 - x)
বা, 24 + 6x = 35 - 5x
বা, 6x + 5x = 35 - 24
বা, 11x = 11
বা, x = 1111
বা, x = 1
উত্তর: নির্ণেয় সংখ্যাটি হলো 1।